(Danke an Denise, Lysander und May fürs Korrekturlesen)

Das hier ist eine semi-interaktive Formelsammlung über alle wichtigen Formeln der Diagnostik 1 Vorlesung. Zu den meisten Formeln und Tests sind entsprechende R Beispiele zur Berechnung beigefügt, diese am besten per Copy-Paste in RStudio einfügen und eigene Werte einsetzen. Alternativ kann das ganze Notebook in RStudio ausgeführt werden: rechts oben auf Code -> Download Rmd klicken und die heruntergeladene Datei in RStudio öffnen.

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Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Zufallsvariablen

  • \(\large X_{\text {iPerson }}\): Eine feste Person antwortet auf ein Item i eines Tests.

    • Konstante \(\large E\left(X_{i P e r s o n}\right)=\tau_{i P e r s o n}\): wahrer Wert der Person (zudem eine Realisierung des zufälligen wahren Wertes \(\large \tau_{i}\))
  • \(\large X_{i}\): Eine Person wird zufällig aus einer Population gezogen und antwortet dann auf ein Item i eines Tests,

  • \(\large \tau_{i}\): (Zufälliger) wahrer Wert, den die zufällig gezogene Person auf Item i haben wird (Eine Person wird zufällig aus einer Population gezogen, antwortet noch nicht auf Item i) - Realisation ist nicht beobachtbar

  • \(\large \theta\): zufällige latente Variable (Realisation: \(\theta_{\text {Person }}\))

\[\large E\left(X_{i}\right)\]

item_answers = c(5,6,7,8,9)

mean(item_answers)

\[\large \operatorname{VAR}\left(X_{i}\right)\]

item_answers = c(5,6,7,8,9)

var(item_answers)

\[\large \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)\]

items_answers = cbind(
  c(5,6,7,8,9), # item1
  c(1,3,10,0,1), # item2
  c(1,3,1,3,5) # item 3
)

cov(items_answers)

\[\large \operatorname{Cor}(X, Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \cdot \operatorname{Var}(Y)}}\]

covXY = 3

varX = 4
varY = 6

covXY/sqrt(varX * varY)

Axiome der Testtheorie

Axiom 1

Für jedes Item \(i\) ist \(\tau_{i}\) die Zufallsvariable, deren Realisation der wahre Wert \(\tau_{\text {iPerson }}\) der Itemantwort der zufällig gezogenen Person ist.

Axiom 2

Für jedes Item \(i\) ist die Fehlervariable \(\varepsilon_{i}\) eine Zufallsvariable, die wie folgt definiert ist: \[ \large \varepsilon_{i}:=X_{i}-\tau_{i} \]

Folgerungen

\[\large X_{i}=\tau_{i}+\varepsilon_{i}\]

\[\large E\left(\varepsilon_{i}\right)=0\]

\[\large E\left(X_{i}\right)=E\left(\tau_{i}\right)\]

\[\large \operatorname{COV}\left(\tau_{i}, \varepsilon_{i}\right)=0\] \[\large \operatorname{COV}\left(\tau_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0\] \[\large V A R\left(X_{i}\right)=V A R\left(\tau_{i}\right)+V A R\left(\varepsilon_{i}\right)\]

Modelle

\[\large X_{i}=\sigma_{i}+\beta_{i} \cdot \theta+\varepsilon_{i}\]

Wenn ein strengeres Modell gilt, dann gilt immer auch gleichzeitig jedes weniger strenge Modell. Andersrum gilt dies nicht.

Paralleles Modell

Annahmen:

\[\large {\color{green} {\tau_{i}=\theta }} \text{ und somit } {\color{green} {X_{i}=\theta+\varepsilon_{i}}} \text{ für alle Items } i\]

\[\large \operatorname{VAR}\left(\varepsilon_{i}\right)=\operatorname{VAR}\left(\varepsilon_{j}\right) \text{ für alle Itempaare } i, j\]

\[\large \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text{ für alle Itempaare } i, j\]

Folgerungen:

\[\large \tau_{i \text { Person }}=\theta_{\text {Person }}=\tau_{j \text { Person }}\]

\[\large \beta_{i} = 1\]

\[\large \sigma_{i} = 0\] \[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{VAR}\left(\tau_{i}\right)\]

Essentiell paralleles Modell

Annahmen:

\[\large {\color{green} {\tau_{i}=\sigma_{i}+\theta}} \text{ und somit } {\color{green} {X_{i}=\sigma_{i}+\theta+\varepsilon_{i}}} \text{ für alle Items } i\]

\[\large \operatorname{VAR}\left(\varepsilon_{i}\right)=\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{j}\right) \text{ für alle Itempaare } i, j\] \[\large \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text{ für alle Itempaare } i, j\] Festlegungen:

\[\large E(\theta)=0\]

Folgerungen:

\[\large \tau_{i \text { Person }}=\sigma_{i}+\theta_{\text {Person }}\]

\[\large \beta_{i} = 1\]

\[\large E(X_{i})=\sigma_{i}\] \[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{VAR}\left(\tau_{i}\right)\]

tau-äquivalentes Modell

Annahmen:

\[\large {\color{green} {\tau_{i}=\theta }} \text{ und somit } {\color{green} {X_{i}=\theta+\varepsilon_{i}}} \text{ für alle Items } i\]

\[\large \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text{ für alle Itempaare } i, j\] Folgerungen:

\[\large \tau_{i \text { Person }}=\theta_{\text {Person }}=\tau_{j \text { Person }}\]

\[\large \beta_{i} = 1\]

\[\large \sigma_{i} = 0\] \[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{VAR}\left(\tau_{i}\right)\]

Essentiell tau-äquivalentes Modell

Annahmen: \[\large {\color{green} {\tau_{i}=\sigma_{i}+\theta}} \text{ und somit } {\color{green} {X_{i}=\sigma_{i}+\theta+\varepsilon_{i}}} \text{ für alle Items } i\]

\[\large \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text{ für alle Itempaare } i, j\] Festlegungen:

\[\large E(\theta)=0\]

Folgerungen:

\[\large \tau_{i \text { Person }}=\sigma_{i}+\theta_{\text {Person }}\]

\[\large \beta_{i} = 1\]

\[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{VAR}\left(\tau_{i}\right)\]

tau-kongenerisches Modell

Annahmen:

\[\large {\color{green} {\tau_{i}=\sigma_{i}+\beta_{i} \cdot \theta}} \text { und somit } {\color{green} {X_{i}=\sigma_{i}+\beta_{i} \cdot \theta+\varepsilon_{i}}} \text { für alle Items } i\]

\[\large \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text{ für alle Itempaare } i, j\] Festlegungen:

\[\large E(\theta)=0\]

\[\large \operatorname{VAR}(\theta)=1\] Folgerungen:

\[\large E(X_{i})=\sigma_{i}\]

Mehrdimensionales tau-kongenerisches Modell

Annahmen:

\[ \large \begin{gathered} \tau_{i}=\sigma_{i}+\beta_{i 1} \cdot \theta_{1}+\beta_{i 2} \cdot \theta_{2}+\cdots+\beta_{i q} \cdot \theta_{q} \text { und somit } \\ X_{i}=\sigma_{i}+\beta_{i 1} \cdot \theta_{1}+\beta_{i 2} \cdot \theta_{2}+\cdots+\beta_{i q} \cdot \theta_{q}+\varepsilon_{i} \text { für alle Items } i \\ \operatorname{COV}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right)=0 \text { für alle Itempaare } i, j \end{gathered} \]

Festlegungen:

\[\large E(\theta_{l})=0\]

\[\large \operatorname{VAR}(\theta_{l})=1\] \[\large \operatorname{COV}\left(\theta_{l}, \theta_{m}\right)=0 \text { für alle latenten Variablen } l \neq m\]

Folgerungen:

\[\large E\left(X_{i}\right)=\sigma_{i}\] z-Standardisierung:

\[\large Z_{i}=\frac{X_{i}-E\left(X_{i}\right)}{\sqrt{\operatorname{VAR}\left(X_{i}\right)}}=\frac{X_{i}-\sigma_{i}}{\sqrt{\operatorname{VAR}\left(X_{i}\right)}}\]

item_answers = c(1, 4)
vars_items = c(4, 3)
sigmas = c(5, 1)

(item_answers - sigmas)/sqrt(vars_items)

\[\large Z_{i}=\beta_{z i 1} \cdot \theta_{1}+\beta_{z i 2} \cdot \theta_{2}+\cdots+\beta_{z i q} \cdot \theta_{q}+\varepsilon_{z i} \text { für alle Items } i\] \[\large \boldsymbol{\beta}_{z i q} = \frac{\beta_{i q}}{\sqrt{V A R\left(X_{i}\right)}}\]

beta = 1
var_item = 2

beta/sqrt(var_item)

Skalierung

Ein psychologischer Test gilt als skalierbar, wenn die Zuordnung der Messwerte zu den Personen auf der Basis eines empirisch nachgewiesenen testtheoretischen Modells geschieht.

Paralleles Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \begin{gathered} E\left(X_{i}\right)=E\left(X_{j}\right) \text { für alle Items } i, j \\ \operatorname{VAR}\left(X_{i}\right)=\operatorname{VAR}\left(X_{j}\right) \text { für alle Items } i, j \\ \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{COV}\left(X_{o}, X_{u}\right) \text { für alle Itempaare } i, j \text { und } o, u \end{gathered}\]

Essentiell paralleles Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \begin{gathered} \operatorname{VAR}\left(X_{i}\right)=\operatorname{VAR}\left(X_{j}\right) \text { für alle Items } i, j \\ \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{COV}\left(X_{o}, X_{u}\right) \text { für alle Itempaare } i, j \text { und } o, u \end{gathered} \]

tau-äquivalentes Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \begin{gathered} E\left(X_{i}\right)=E\left(X_{j}\right) \text { für alle Items } i, j \\ \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{COV}\left(X_{o}, X_{u}\right) \text { für alle Itempaare } i, j \text { und } o, u \end{gathered} \]

Essentiell tau-äquivalentes Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\operatorname{COV}\left(X_{o}, X_{u}\right) \text { für alle Itempaare } i, j \text { und o, } u \]

tau-kongenerisches Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\beta_{i} \cdot \beta_{j} \text { für alle Itempaare } i, j\]

Mehrdimensionales tau-kongenerisches Modell

Zu überprüfende Hypothesen:

\[\large \operatorname{COV}\left(X_{i}, X_{j}\right)=\sum_{l=1}^{q} \beta_{i l} \cdot \beta_{j l} \text { für alle Itempaare } i, j\]

Parameterschätzung