Statistik 1 Cheatsheet

Das hier ist eine semi-interaktive Formelsammlung über alle wichtigen Formeln der Statistik 1 Vorlesung. Zu den meisten Formeln und Tests sind entsprechende R Beispiele zur Berechnung beigefügt - diese am besten per Copy-Paste in RStudio einfügen und eigene Werte einsetzen. Folgende Pakete werden zum Ausführen der Codebeispiele benötigt:

install.packages(c("DescTools", "effsize", "MBESS", "pwr"))

Inhaltsverzeichnis

• Deskriptive Statistik
  • Grundbegriffe
  • Kovarianz und Korrelation
• Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Grundbegriffe
  • Konkrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen
  • Zentraler Grenzwertsatz
• Parameterschätzung
  • $\pi$
  • $\mu$
  • $\sigma$
  • $\mu_1-\mu_2$ unabhängig
  • $\mu_1-\mu_2$ abhängig
• Hypothesentests
  • $\mu$
  • $\pi$
  • $\mu_1-\mu_2$ unabhängig
  • $\mu_1-\mu_2$ abhängig
• Effektstärke und Power
  • Cohen’s Delta
  • Power
• False Discovery Rate
• Inferenzstatistische Annahmen

Deskriptive Statistik

Grundbegriffe

Absolute Häufigkeit

$H(x_j)$

vec = c("A","A","B","A","C","B")
table(vec)

Absolute kummulierte Häufigkeit

$H_{kum}(x_k) = \sum_{j=1}^{k} H(x_j)$

vec = c("A","A","B","A","C","B")
cumsum(table(vec))

Relative Häufigkeit

$h(x_j) = \frac{H(x_j)}{n}$

vec = c("A","A","B","A","C","B")
prop.table(table(vec))

Relative kummulierte Häufigkeit

$h_{kum}(x_k)=\frac{H_{kum}(x_k)}{n}=\frac{\sum_{j=1}^k H(x_j)}{n}$

vec = c("A","A","B","A","C","B")
cumsum(prop.table(table(vec)))

Modalwert

Die Messwertausprägung, die am häufigsten beobachtet wurde.

vec = c("A","A","B","A","C","B")
names(which.max(table(vec)))

Arithmetisches Mittel / Mean

Summe aller Messwerte geteilt durch Anzahl der Beobachtungen.

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

vec = c(1,2,3,4,5,6)
mean(vec)

Median

(Mindestend) 50% der Merkmalsträger haben einen Messwert, der kleiner oder gleich dem Median ist. Zur Berechnung müssen die Messwerte in aufsteigender Reihenfolge geordnet sein.

vec = c(1,3,4,5,7)
median(vec)

Empirische Varianz

$s_{emp}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

vec = c(1,2,3,4,5,6,7,10,12)
n = length(vec)
((n-1)/n)*var(vec)

Empirische Standardabweichung

$s_{emp} = \sqrt{s_{emp}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

vec = c(1,2,3,4,5,6,7,10,12)
n = length(vec)
sqrt(((n-1)/n)*var(vec))

Quantile

 
vec = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
quantile(vec, probs=c(0.25,0.5,0.75))
 
 

Interquartilabstand

 
vec = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
IQR(vec, type=6)
 
 

Barplot

vec = c(1,1,1,2,2,5,5,5,9)
barplot(table(vec))

Histogram

vec = c(0,1,1,1.5,2,2,3,5,5,5)
hist(vec)

Boxplot

vec = c(0,0,1,1,1,2,2,5,5,5,9,15)
boxplot(vec)

Kovarianz und Korrelation

Kovarianz (empirisch)

Richtung eines Zusammenhangs.

Symmetrie:

Kovarianz mit sich selbst ist gleich der empirischen Varianz.

Zusammenhang mit Steigung der Geraden durch das Streudiagram:

x = c(1,2,3,4,5,6)
y = c(7,8,9,10,11,12)
 
cov(x,y)

z-standardisierung

Die Transformation der z-Standardisierung ist für jeden Messwert so definiert:

$z_{i}=\frac{x_{i}-\bar{x}}{s_{emp}}$

x = c(1,2,3,4,5,6)
(x-mean(x))/sqrt(((length(x)-1)/length(x))*var(x))

Pearson Korrelation

Symmetrie:

Die Korrelation entspricht der Steigung der Gerade durch das Streudiagram

Alternative Formel:

x = c(1,2,3,4,5,6)
y = c(7,8,9,10,11,12)
 
cor(x,y)

Wahrscheinlichkeitstheorie

Grundbegriffe WkT

Erwartungswert von Zufallsvariablen

Falls die ZV stetig ist:

Rechenregeln für den Erwartungswert

# Erwartungswert aus gegebener diskreter Wahrscheinlichkeitsfunktion
x = c(-4,-3,-2,-1)
fx = c(0.3,0.1,0.4,0.2)
 
sum(x*fx)

# Erwartungswert aus gegebener diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilung
x = c(-4,3,4,20,22)
Fx = c(0.1,0.2,0.3,0.8,1)
 
fx = c(Fx[[1]])
for(i in 2:length(Fx)){fx[i] = Fx[[i]]-Fx[[i-1]]}
 
sum(x*fx)

Varianz und Standardabweichung von Zufallsvariablen

Varianz:

Falls die ZV stetig ist:

Standardabweichung:

Rechenregeln für Varianz und Standardabweichung:

# Varianz, Standardabweichung aus gegebener diskreter Wahrscheinlichkeitsfunktion
x = c(-4,-3,-2,-1)
fx = c(0.3,0.1,0.4,0.2)
 
e = sum(x*fx)
varemp = sum((x-e)**2*fx)
 
varemp
sqrt(varemp)
 

# Varianz, Standardabweichung aus gegebener diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilung
x = c(-4,3,4,20,22)
Fx = c(0.1,0.2,0.3,0.8,1)
 
fx = c(Fx[[1]])
for(i in 2:length(Fx)){fx[i] = Fx[[i]]-Fx[[i-1]]}
 
e = sum(x*fx)
varemp = sum((x-e)**2*fx)
 
varemp
sqrt(varemp)

z-standardisierung von Zufallsvariablen

Analog zur Deskriptivstatistik.

Konkrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Bernoulli Verteilung

$X \sim \operatorname{Be}(\pi)$

$T_{X}=\{0,1\}$

Wahrscheinlichkeitsfunktion

$f\left(x_{j}\right)=\pi^{x_{j}}(1-\pi)^{1-x_{j}}$

Verteilungsfunktion

Erwartungswert, Standardabweichung:

$E(X)=\pi$

$SD(X)=\sqrt{\pi(1-\pi)}$

Binomialverteilung

$X \sim B(n, \pi)$

$T_{X}=\{0,1,2,...,n\}$

Voraussetzungen:

$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$

$X_{i} \sim Be(\pi)$

$X=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$

Exkurs: Binomialkoeffizient

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Verteilungsfunktion:

Erwartungswert, Standardabweichung:

$E(X)=n \pi$

$S D(X)=\sqrt{n \pi(1-\pi)}$

R Funktionen

p = 0.5
n = 100
 
dbinom(x=40, size=n, prob=p) # Wahrscheinlichkeitsfunktion
pbinom(q=70, size=n, prob=p) # Verteilungsfunktion
qbinom(p=0.25, size=n, prob=p) # Quantile
rbinom(n=20, size=n, prob=p) # Zufallsgeneration nach Binomialverteilung

Normalverteilung

$X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$

$T_{X}=\mathbb{R}$

Wichtige Eigenschaften:

• Ihre Dichtefunktion hat ihr Maximum an der Stelle $x = \mu$
• Ihre Dichtefunktion ist symmetrisch um $\mu$
  • $f(\mu+c)=f(\mu-c)$
  • $P(X \leq \mu-c)=P(X \geq \mu+c)$
  • $P(X \leq \mu)=0.5$
• Je weiler x von $\mu$ entfernt ist, desto kleiner ist die Dichte

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma^{2}})}$

Erwartugnswert, Varianz, Standardabweichung:

$E(X)=\mu$

$Var(X)=\sigma^2$

$SD(X)=\sigma$

R Funktionen

mu = 3
sigma = 2
 
dnorm(x=3, mean = mu, sd = sigma) # Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
pnorm(q=0.5, mean = mu, sd = sigma) # Verteilungsfunktion
qnorm(p=0.25, mean = mu, sd = sigma) # Quantile
rnorm(n=20, mean = mu, sd = sigma) # Zufallsgeneration nach Normalverteilung

z-standardisierung (Standardnormalvcerteilung):

$Z=\frac{X-E(X)}{S D(X)}=\frac{X-\mu}{\sigma}$

$Z \sim N(0,1)$

t-Verteilung

$T \sim t(v)$

$T_{T}=\mathbb{R}$

Erwartungswert ($\nu$ > 1):

$E(T)=0$

Nützliche Eigenschaft:

$t_{1-\frac{\alpha}{2}}=-t_{\frac{\alpha}{2}}$

Bemerke: Für hohe n nähert sich die Kurve der t-Verteilung der der Standardnormalverteilung an.

R Funktionen

v = 24
 
 
pt(q=1.4, df=v) # Verteilungsfunktion
qt(p=0.25, df=v) # Quantile
 
dt(x=0.2, df=v) # Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion - uninteressant
rt(n=20, df=v) # Zufallsgeneration nach Normalverteilung - uninteressant

Zentraler Grenzwertsatz

Seien $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{i}, \ldots, X_{n}$ Zufallsvariablen mit $X_{i} \stackrel{\text { iid }}{\sim} P$, wobei P eine völlig beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Für

$Z^{*}=\frac{\bar{X}-E(\bar{X})}{\widehat{S D}(\bar{X})}$ gilt dann

$\lim _{n \rightarrow \infty} P_{Z^{*}}=N(0,1)$

also für großes n

$Z^{*} \stackrel{\mathrm{a}}{\sim} N(0,1)$

Parameterschätzung

Notation

Parameter

• $\mu$, $\sigma^{2}$, $\pi$

Allgemeine Schätzfunktion

• $\hat\mu$, $\hat\sigma^{2}$, $\hat\pi$

Allgemeine Schätzwerte

• $\hat\mu_{Wert}$, $\hat\sigma^{2}_{Wert}$, $\hat\pi_{Wert}$

Konkrete Schätzfunktionen

• $\bar{X}$, $S_{emp}^{2}$, $S^{2}$

Konkrete Schätzwerte

• $\bar{x}$, $s_{emp}^{2}$, $s^{2}$

Gütekriterien von Schätzfunktionen

Erwarungstreue $E(\hat{\theta})=\theta$

Standardfehler $S E(\hat{\theta})=S D(\hat{\theta})$

Effizienz: Erwartungstreu und kleinsten Standardfehler aller erwartungstreuen Schätzfunktionen für den Parameter

Konsistenz: $\lim _{n \rightarrow \infty} SE(\hat{\theta})=0$

Schätzung für $\pi$ einer Bernoulli-Verteilung

$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \operatorname{mit} X_{i} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} \mathrm{Be}(\pi)$

Punkt

Schätzfunktion:

$\hat{\pi}=\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ Erwartungswert:

$E(\hat{\pi})=E(\bar{X}) = \pi$

Standardfehler:

$S E(\hat{\pi})=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}$

$\hat{\pi}=\bar{X}$ ist erwartungstreu, effizient und konsistent.

Konfidenzintervall

(Approximatives) Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau $1-\alpha$: $I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=[U, O]=\left[\bar{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}, \bar{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}\right]$ $Z^{*} \stackrel{\mathrm{a}}{\sim} N(0,1)$

R Code

conf.level = 0.90
 
vec = c(1,1,1,0,0)
n = length(vec)
 
#Punktschaetzung
x_quer = mean(vec)
x_quer
 
# Konfidenzintervall von Hand
c = qnorm(1-((1-conf.level)/2), mean=0,sd=1) * sqrt(((x_quer*(1-x_quer))/n))
c(x_quer - c, x_quer + c)
 
# Konfidenzintervall mit R Funktion
library(DescTools)
BinomCI(x_quer*n,n,method='wald', conf.level = conf.level)

Schätzung für $\mu$ einer Normalverteilung

$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \operatorname{mit} X_{i} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$

Punkt

Schätzfunktion:

$\hat{\mu}=\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$

Erwartungswert:

$E(\bar{X}) = \mu$

Standardfehler:

$SE(\bar{X})=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n}}$

$\hat{\mu}=\bar{X}$ ist erwartungstreu, effizient und konsistent.

Konfidenzintervall

Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\bar{X}$

$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right)$

Konfidenzintervall mit Konfidenzniveau $1-\alpha$:

Beidseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=[U, O]=\left[\bar{X}-t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S^{2}}{n}}, \bar{X}+t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S^{2}}{n}}\right]$

Rechtsseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=[U, O]=\left[\bar{X}-t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S^{2}}{n}}, \infty\right[$

Linksseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=[U, O]=\left]-\infty, \bar{X}+t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S^{2}}{n}}\right]$

$T \sim t(n-1)$

• Falls Varianz bekannt, z-Quantile ($Z \sim N(0,1)$) statt t-Quantilen verwenden

R Code

conf.level = 0.95
 
vec = c(100,80,90,120)
n = length(vec)
 
#Punktschaetzung
x_quer = mean(vec)
x_quer
 
s2 = var(vec)
 
# Konfidenzintervall von Hand
c = qt(1-((1-conf.level)/2), df=n-1) * sqrt(s2/n)
c(x_quer-c, x_quer+c)
 
# Konfidenzintervall mit R Funktion
t.test(vec, conf.level=conf.level)

Schätzung für $\sigma^{2}$ einer Normalverteilung

$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \operatorname{mit} X_{i} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$

! $S_{emp}^{2}$ ist nicht erwartungstreu für $\sigma^{2}$ !

Schätzfunktion:

$\hat{\sigma}^{2}=S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$

Erwartungswert: $E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2}$

Standardfehler: $S D\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=\sqrt{\frac{2 \sigma^{4}}{n-1}}$

$\hat{\sigma}^{2}=S^{2}$ ist erwartungstreu, effizient und konsistent.

R Code

vec = c(100,80,90,120)
n = length(vec)
 
#Punktschaetzung
var(vec)

Schätzung für $\mu_1 - \mu_2$ einer Normalverteilung für unabhängige Stichproben

$X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1 n_{1}} \operatorname{mit} X_{1 i} \sim N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ $X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2 n_{2}} \text { mit } X_{2 i} \sim N\left(\mu_{2}, \sigma^{2}\right)$

Punkt

Schätzfunktion:

$\bar{X}_{\text {Diff }}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}$

Erwartungswert:

$E\left(\bar{X}_{\text {Diff }}\right)=E\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)=\mu_{1}-\mu_{2}$

Standardfehler:

$S E\left(\bar{X}_{D i f f}\right)=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma^{2}}{n_{2}}}$

$\bar{X}_{Diff}$ ist erwartungstreu, effizient und konsistent (für $n_{1} \rightarrow \infty \text { und } n_{2} \rightarrow \infty$).

Gepoolte Varianz:

$S_{\text {pool }}^{2}=\frac{\left(n_{1}-1\right) \cdot S_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right) \cdot S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}$

Sonderfall für $n_{1}=n_{2}$:

$S_{\text {pool }}^{2}=\frac{S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}{2}$

 
vec1 = c(-10,0,-20,-11,-22)
vec2 = c(0,-10,5)
 
# Wenn nur Werte und keine Daten vorliegen, diese Werte durch eigene ersetzen
n1 = length(vec1)
n2 = length(vec2)
 
s2_1 = var(vec1)
s2_2 = var(vec2)
 
((n1-1)*s2_1+(n2-1)*s2_2)/(n1+n2-2)

Konfidenzintervall

Beidseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left[\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{2}}},\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)+t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{2}}}\right]$

Rechtsseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left[\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{2}}}, \infty \right[$

Linksseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left] -\infty,\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)+t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{\text {pool }}^{2}}{n_{2}}}\right]$

$T \sim t\left(n_{1}+n_{2}-2\right)$

• Falls Varianz bekannt, z-Quantile ($Z \sim N(0,1)$) statt t-Quantilen verwenden

R Code

conf.level = 0.99
 
vec1 = c(-10,0,-20,-11,-22)
vec2 = c(0,-10,5)
 
x_quer1 = mean(vec1)
x_quer2 = mean(vec2)
 
n1 = length(vec1)
n2 = length(vec2)
 
# Punktschaetzung
xdiff_quer = mean(vec1)-mean(vec2)
xdiff_quer
 
# Konfidenzintervall von Hand
s2_1 = var(vec1)
s2_2 = var(vec2)
s2pool = ((n1-1)*s2_1+(n2-1)*s2_2)/(n1+n2-2)
 
c = qt(1-((1-conf.level)/2), df = n1+n2-2) * sqrt(s2pool/n1 + s2pool/n2)
 
c(xdiff_quer-c, xdiff_quer+c)
 
# Konfidenzintervall mit R Funktion
t.test(vec1,vec2,paired=FALSE,var.equal = TRUE,conf.level=conf.level)

Schätzung für $\mu_1 - \mu_2$ einer Normalverteilung für abhängige Stichproben

$X_{i \text { Diff }}=X_{i 1}-X_{i 2}$

$X_{i \text { Diff }} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \sigma_{\text {Diff }}^{2}\right)$

Punkt

Schätzfunktion:

$\bar{X}_{\text {Diff }}=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}$

Erwartungswert:

$E\left(\bar{X}_{\text {Diff }}\right)=E\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)=\mu_{1}-\mu_{2}$

Standardfehler:

$S E\left(\bar{X}_{\text {Diff }}\right)=\sqrt{\frac{\sigma_{\text {Diff }}^{2}}{n}}$

$\bar{X}_{Diff}$ ist erwartungstreu, effizient und konsistent (für $n\rightarrow\infty$ ).

Konfidenzintervall

Beidseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left[\bar{X}_{Diff}-t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S_{D i f f}^{2}}{n}},\bar{X}_{Diff}+t_{1-\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\frac{S_{D i f f}^{2}}{n}}\right]$

Rechtsseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left[\bar{X}_{Diff}-t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S_{D i f f}^{2}}{n}},\infty\right[$

Linksseitig:

$I\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\left]-\infty ,\bar{X}_{Diff}+t_{1-\alpha} \cdot \sqrt{\frac{S_{D i f f}^{2}}{n}}\right]$

$T \sim t(n-1)$

• Falls Varianz bekannt, z-Quantile ($Z \sim N(0,1)$) statt t-Quantilen verwenden

R Code

conf.level = 0.99
 
# Muessen gleiche Laenge haben
vec1 = c(3,5,7,-9,-3)
vec2 = c(-3,-3,-4,-1,0)
n = length(vec1)
 
#Punkschaetzung
xdiff_quer = mean(vec1)-mean(vec2)
xdiff_quer
 
# Konfidenzintervall von Hand
s2diff = var(vec1-vec2)
c = qt(1-((1-conf.level)/2), df = n-1) * sqrt(s2diff/n)
c(xdiff_quer - c, xdiff_quer + c)
 
# Konfidenzintervall mit R Funktion
t.test(vec1,vec2,paired=TRUE,var.equal = TRUE,conf.level=conf.level)

Hypothesentests

• ${H_0}$ ist wahr, für ${H_1}$ entschieden: Fehler erster Art
• ${H_1}$ ist wahr, für ${H_0}$ entschieden: Fehler zweiter Art

Formulierung: [Ein/Zwei]stichproben [t-/Binomial]test (für [abhängige/unabhängige] Stichproben) über Parameter [$\mu$ / $\pi$ $/\mu_1 - \mu_2$] für [gerichtete/ungerichtete] Hypothesen

t-Wert berechnen: Punktschätzwerte bestimmen und in die jeweilige Teststatistik einsetzen

Kritischen Bereich bestimmen:

• ungerichtet:
  • $P(T \leq t_{\text {kritlinks }})=F(t_{\text {kritlinks }})=\frac{\alpha}{2}$
    • klinks = qt(alpha/2,df)
  • $P(T \geq t_{\text {kritrechts }})=1-F(t_{\text {kritrechts }})=\frac{\alpha}{2}$
    • krechts = qt(1-(alpha/2),df)
• linksseitig:
  • $P\left(T \leq t_{k r i t}\right)=F\left(t_{k r i t}\right)=\alpha$
    • qt(alpha,df)
• rechtsseitig:
  • $P\left(T \geq t_{\text {krit }}\right)=1-F\left(t_{\text {krit }}\right)=\alpha$
    • qt(1-alpha,df)

p-Wert berechnen: t-Wert berechnen und

• linksseitig: $P(T \leq t) = F(t)$

  • pt(t, df)

• rechtsseitig: $P(T \geq t) = 1 - F(t)$

  • 1-pt(t, df)

• ungerichtet: $\begin{array}{l} 2 \cdot P(T \leq t) \text { falls } t\leq0 \text { ist, } \\ 2 \cdot P(T \leq-t) \text { falls } t>0 \text { ist. } \end{array}$

  • if(t <= 0) 2*pt(t, df) else 2*pt(-t, df)

Parameter $\mu$

Teststatistik

$T=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sqrt{\frac{S^{2}}{n}}} \stackrel{H_{0}}{\sim} t(n-1)$

Einstichprobe $\mu$ ungerichtet

$K_{T}=\left]-\infty, t_{\text{kritlinks}}\right] \cup \left[t_{\text{kritrechts}},+\infty\right[$

 
alpha = 0.005
data = c(-20,-30,-70,-10,-50)
mu0 = -10
 
 
# Hypothesentest von Hand - Wenn nur Werte gegeben sind und keine Daten, diese Variablen durch eigene Werte ersetzen
n = length(data)
x_quer = mean(data)
s2 = var(data)
 
klinks = qt(alpha/2,df=n-1)
krechts = qt(1-(alpha/2),df=n-1)
paste("Krit. Bereich: ]-INF;", klinks,"] [", krechts, "; INF[", sep="")
 
t = (x_quer-mu0)/sqrt(s2/n)
t
 
p = if(t <= 0) 2*pt(t, n-1) else 2*pt(-t, n-1)
p
 
if(p <= alpha) print("H1 annehmen") else print("H0 annehmen")
 
# Hypothesentest mit R Funktion - basierend auf den Datenvektoren (ignorieren, falls eigene Werte verwendet werden)
t.test(data, mu = mu0, alternative = 'two.sided')

Einstichprobe $\mu$ linksgerichtet

$\left.\left.K_{T}=\right]-\infty, t_{k r i t}\right]$

alpha = 0.005
data = c(-20,-30,-70,-10,-50)
mu0 = -10
 
# Hypothesentest von Hand - Wenn nur Werte gegeben sind und keine Daten, diese Variablen durch eigene Werte ersetzen
n = length(data)
x_quer = mean(data)
s2 = var(data)
 
klinks = qt(alpha,df=n-1)
paste("Krit. Bereich: ] -INF;", klinks,"]", sep="")
 
t = (x_quer-mu0)/sqrt(s2/n)
t
 
p = pt(t, n-1)
p
 
if(p <= alpha) print("H1 annehmen") else print("H0 annehmen")
 
# Hypothesentest mit R Funktion - basierend auf den Datenvektoren (ignorieren, falls eigene Werte verwendet werden)
t.test(data, mu = mu0, alternative = 'less')
 

Einstichprobe $\mu$ rechtsgerichtet

$K_{T}=\left[t_{\text {krit }},+\infty[\right.$

alpha = 0.005
data = c(-2,3,0,-3,1)
mu0 = 3
 
# Hypothesentest von Hand - Wenn nur Werte gegeben sind und keine Daten, diese Variablen durch eigene Werte ersetzen
n = length(data)
x_quer = mean(data)
s2 = var(data)
 
krechts = qt(1-alpha,df=n-1)
paste("Krit. Bereich: [", krechts,";INF[", sep="")
 
t = (x_quer-mu0)/sqrt(s2/n)
t
 
p = 1-pt(t, n-1)
p
 
if(p <= alpha) print("H1 annehmen") else print("H0 annehmen")
 
# Hypothesentest mit R Funktion - basierend auf den Datenvektoren (ignorieren, falls eigene Werte verwendet werden)
t.test(data, mu = mu0, alternative = 'greater')

Parameter $\pi$

Teststatistik

$T=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\stackrel{H_{0}}{\sim} Bin(n,\pi_0)$

Einstichprobe $\pi$ ungerichtet

hits = 43
n = 100
pi0 = 0.5
 
binom.test(x=hits, n=n, p=pi0, alternative='two.sided')

Einstichprobe $\pi$ linksseitig

hits = 43
n = 100
pi0 = 0.5
 
binom.test(x=hits, n=n, p=pi0, alternative='less')

Einstichprobe $\pi$ rechtsseitig

Besonderheit p-Wert Berechnung:

$p = P(T \geq t)=1-P(T<t)=1-P(T \leq t-1)=1-F(t-1)$

hits = 66
n = 100
pi0 = 0.5
 
binom.test(x=hits, n=n, p=pi0, alternative='greater')

Parameterdifferenz $\mu_1 - \mu_2$ unabhängig

Teststatistik

$T=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-\mu_{0}}{\sqrt{\frac{S_{p o o l}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{p o o l}^{2}}{n_{2}}}}\stackrel{H_{0}}{\sim} t(n_1+n_2-2)$

Zweistichprobe $\mu_1 - \mu_2$ unabhängig ungerichtet

$\left.\left.K_{T}=\right]-\infty, t_{\text {kritlinks }}\right] \cup\left[t_{\text {kritrechts }},+\infty[\right.$

alpha = 0.005
data1 = c(-1,-4,-4,-3,-3)
data2 = c(-2,-4,-6)
mu0 = 0
 
# Hypothesentest von Hand - Wenn nur Werte gegeben sind und keine Daten, diese Variablen durch eigene Werte ersetzen
n1 = length(data1)
n2 = length(data2)
xdiff_quer = mean(data1)-mean(data2)
s2_1 = var(data1)
s2_2 = var(data2)
s2pool = ((n1-1)*s2_1+(n2-1)*s2_2)/(n1+n2-2)
 
klinks = qt(alpha/2,df=n1+n2-2)
krechts = qt(1-alpha/2,df=n1+n2-2)
paste("Krit. Bereich: ]-INF;", klinks,"] [", krechts, "; INF[", sep="")
 
t = (xdiff_quer-mu0)/sqrt(s2pool/n1 + s2pool/n2)
t
 
p = if(t <= 0) 2*pt(t, n1+n2-2) else 2*pt(-t, n1+n2-2)
p
 
if(p <= alpha) print("H1 annehmen") else print("H0 annehmen")
 
# Hypothesentest mit R Funktion - basierend auf den Datenvektoren (ignorieren, falls eigene Werte verwendet werden)
t.test(data1, data2, mu = mu0, alternative = 'two.sided', paired = FALSE, var.equal= TRUE)
 

Zweistichprobe $\mu_1 - \mu_2$ unabhängig linksgerichtet

$\left.\left.K_{T}=\right]-\infty, t_{k r i t}\right]$

alpha = 0.005
data1 = c(-1,0,-2,-1,-4)
data2 = c(2,3,1,3,3)
mu0 = 1
 
# Hypothesentest von Hand - Wenn nur Werte gegeben sind und keine Daten, diese Variablen durch eigene Werte ersetzen
n1 = length(data1)
n2 = length(data2)
xdiff_quer = mean(data1)-mean(data2)
s2_1 = var(data1)
s2_2 = var(data2)
s2pool = ((n1-1)*s2_1+(n2-1)*s2_2)/(n1+n2-2)
 
klinks = qt(alpha,df=n1+n2-2)
paste("Krit. Bereich: ] -INF;", klinks,"]", sep="")
 
t = (xdiff_quer-mu0)/sqrt(s2pool/n1 + s2pool/n2)
t
 
p = pt(t, n1+n2-2)
p
 
if(p <= alpha) print("H1 annehmen") else print("H0 annehmen")
 
# Hypothesentest mit R Funktion - basierend auf den Datenvektoren (ignorieren, falls eigene Werte verwendet werden)
t.test(data1, data2, mu = mu0, alternative = 'less', paired = FALSE, var.equal= TRUE)
 

Zweistichprobe $\mu_1 - \mu_2$ unabhängig rechtsgerichtet